E07-Matheux

Voici la version Word de notre scénario pédagogique et nos réflexions sur les méthodes d'enseignement :


 * Université de Montréal**
 * Faculté des sciences de l’éducation**
 * Département de psychopédagogie et d’andragogie**


 * Un scénario d’activité pédagogique**

TP 2

Par Les Matheux : Ioan Bujdei Hassiba Hadj-Amar Caroline-Emmanuelle Petit-Jetté PPA 6015

Travail remis à M. Bruno Poellhuber

Université de Montréal 11 juin 2007

== =Table des matières=

[|Table des matières. 2] [|Introduction et mise en contexte. 3] [|Présentation du programme. 3] [|Description de la compétence (MEQ) 3] [|Description du cours. 4] [|Les caractéristiques des étudiants et les problématiques d’apprentissage du cours. 4] [|Problématiques. 4] [|Extrait de cours choisi 6] [|Intention de formation. 6] [|Objectif intégrateur 6] [|Objectifs d’apprentissage. 6] [|Classement des objectifs selon Bloom.. 7] [|Buts généraux pertinents. 9] [|Démarche de Rieunier 10] [|Description de la stratégie pédagogique. 10] [|ANNEXE 1 : Énoncé de la compétence 00UQ du MEQ1. 17] [|ANNEXE 2 : Plan de cours (Algèbre linéaire et géométrie vectorielle) 18] [|Volume obligatoire. 28] [|Volumes disponibles à la bibliothèque pour consultation. 28] [|Autres volumes. 28] [|Annexe III : Réflexions sur les méthodes d’enseignement en lien avec notre domaine d’étude. 29] [|BIBLIOGRAPHIE. 36] =Introduction et mise en contexte=

Présentation du programme
Dans le cadre du cours PPA6015, Méthodes d’enseignement et TIC, on nous a demandé d’élaborer l’ébauche d’un scénario d’une activité pédagogique dans notre domaine d’expertise. L’équipe des « Matheux » étant composée de trois mathématiciens, il allait de soit que nous allions choisir un cours de mathématique de niveau collégial : algèbre linéaire et géométrie vectorielle (201-NYC-05). Ce cours s’inscrit dans le programme pré universitaire //Sciences de la nature// (200.B0) et est obligatoire pour tous les étudiants de ce programme. Le programme //Sciences de la nature//, dans lequel se situe le cours choisi, a pour objet d’assurer à l’étudiant une formation équilibrée, intégrant les ingrédients de base d’une formation scientifique rigoureuse. La formation propre au programme //Sciences de la nature// s’effectue à travers quatre disciplines : la biologie, la chimie, les mathématiques et la physique. Le cours d’algèbre linéaire et géométrie vectorielle bien qu’il soit offert à la troisième session de la formation collégiale (au Cégep dont nous devons conserver l’anonymat) et que ce soit le troisième cours de mathématiques qui s’adresse aux étudiants en //Sciences de la nature// n’exige aucun cours collégial préalable. Toutefois, les notions vues dans les cours du secondaire (mathématiques 436 et 536) préalables à l’admission au programme //Sciences de la nature//, ou leurs équivalents reconnus par le Collège, sont supposées connues et maîtrisées. De plus, l’atteinte des compétences des cours de Calcul différentiel et de Calcul intégral assure une maturité qui favorise la réussite de ce cours.

Description de la compétence (MEQ)
La compétence ministérielle de ce cours est « 00UQ : Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes ». Pour en arriver à acquérir cette compétence générale, il faut atteindre des objectifs d’apprentissage formulés à partir des éléments de compétence suivants (ANNEXE 1) : 1. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires. 2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles. 3. Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre. 4. Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections. 5. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes. 6. Démontrer des propositions. 7. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace.

Description du cours
Ce cours est une formation de base au calcul linéaire, outil essentiel à la résolution de nombreux problèmes des sciences, et à la géométrie vectorielle dont le champ d’application s’étend surtout à la physique Le cours d’algèbre linéaire et géométrie vectorielle contribue aussi à développer chez l’élève la capacité d’analyse, des habiletés langagières et un processus déductif. L’élève y apprend à avoir la capacité de traiter presque toutes les situations nouvelles à partir de ses acquis en développant l’habileté de raisonner avec rigueur. La résolution d’équations algébriques requiert des compétences intellectuelles, car l’étudiant aura à utiliser un langage spécifique, le langage mathématique. De plus, dans une suite logique, il aura à résoudre le problème méthodiquement, étape par étape. Pour ceci, il devra développer des compétences stratégiques.

Caractéristiques des étudiants et problématiques d'apprentissage du cours
Les étudiants inscrits en //Sciences de la nature// au collégial se dirigent à l’université en sciences de la santé, en sciences pures ou en sciences appliquées. Ils sont très compétitifs, ils désirent obtenir les meilleurs résultats académiques possibles. C’est particulièrement le cas pour les étudiants qui se dirigent vers des domaines universitaires dont l’accès est contingenté. Le cours d’algèbre linéaire et géométrie vectorielle est le cours de mathématiques obligatoire le mieux réussi du programme. En général, lorsque les étudiants entament ce cours, ils commencent à communiquer leur pensée d’une façon claire et précise et à raisonner avec rigueur. La classe est habituellement constituée d’une trentaine d’étudiants généralement âgés de 18-19 ans.

Problématiques
Ce cours est très utile pour les étudiants qui poursuivront leur formation en mathématiques et, par les nombreux liens interdisciplinaires, pour tous les élèves qui choisiront une formation en sciences autant de la nature qu’humaines. Ainsi, la plupart de la clientèle de ce cours utilisera un jour ou l’autre les connaissances acquises durant celui-ci. Cependant, les étudiants ont de la difficulté à faire le lien entre les formules et problèmes bien définis en classe et ceux plus complexes de la vie quotidienne ou professionnelle. Ils ne voient pas l’utilité du cours et ceci affecte leur motivation. Ainsi, la première problématique liée à ce cours est //l’absence de transfert de connaissance dans une même discipline et d’une discipline à l’autre// (Aylwin, 1992). Afin de favoriser l’intégration et le transfert des connaissances, nous suggérons de présenter des exemples concrets tirés d’autres cours du programme ou tirés de la vie courante. Par ailleurs, cette approche nous permettra aussi de contourner une deuxième problématique liée à ce cours : //le niveau d’abstraction des notions mathématiques.// Traditionnellement, les notions mathématiques sont enseignées en présentant, d’abord, la théorie ensuite la résolution d’équations non significatives pour les étudiants en guise d’exemple. Ces concepts ne veulent ainsi rien dire pour eux, c’est très abstrait. Dans de telles conditions, il est très difficile de mettre de l’ordre dans ses idées, de comprendre et de convertir l’information en mémoire à long terme. Ainsi, le niveau d’abstraction du cours fait en sorte que les étudiants le trouvent relativement difficile. Les élèves doivent passer au-delà de l’abstrait. Pour ce faire, nous allons adopter une démarche inductive dans notre scénario pédagogique, c’est-à-dire présenter des exemples concrets avant d’enseigner les notions théoriques plus abstraites telles que suggérées dans (Aylwin, 1992). Finalement, en mathématiques les méthodes de résolution de problème(s) sont souvent enseignées de façons disjointes en procédant à des exemples bien ciblés. Durant les périodes d’exercices ou d’évaluation, les étudiants ont des problèmes à résoudre et les enseignants leur conseillent d’utiliser la technique « essai/erreur » afin de repérer la bonne méthode de résolution. Pour l’étudiant qui ne trouve pas rapidement la bonne méthode, ceci peut être décourageant et démotivant. La troisième et dernière problématique liée à ce cours concerne donc //l’acquisition d’une démarche rigoureuse et intuitive de résolution de problèmes//. En fait, par une bonne méthodologie, on peut reconnaître les patrons dans les équations et les associer à une méthode de résolution ce qui accélère grandement le processus. Nous désirons donc développer l’intuition des étudiants. Ils doivent apprendre une méthodologie de résolution de problème afin que ça devienne automatique, intuitif. Les exercices répétitifs combinés à l’enseignement d’une bonne démarche de résolution seraient tout à fait appropriés dans ce contexte. Ainsi les trois problématiques liées à ce cours seront contournées par l’utilisation des méthodes d’enseignement et des TIC adéquats.

=Extrait de cours choisi= Habituellement, le cours d’algèbre linéaire et géométrie vectorielle est divisé en trois blocs d’environ 20 heures chacun. Nous avons choisi de présenter une section du premier bloc, celle relative à la résolution de systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles. Normalement, cette section du cours est vue en 6 périodes de théorie. Nous supposons que l’étudiant connaît déjà les opérations sur les matrices et le concept de déterminant d’une matrice. Ces dernières étant des connaissances déclaratives ayant déjà été acquises par les élèves dans les séquences précédentes du cours.

Objectif intégrateur
Au terme de la séquence de cours, l’étudiant devrait être en mesure d’appliquer dans un contexte concret (traduction) les différentes méthodes de résolution et d’interprétation d’un système d’équations linéaires. Afin d’évaluer l’atteinte de cet objectif, nous nous baserons sur les critères de performances suivants : Ø Justification des étapes du raisonnement. Ø Utilisation d’une terminologie appropriée. Ø Application correcte d’algorithmes. Ø Résolution juste de systèmes linéaires. Ø Manipulations algébriques conformes aux règles. Ø Exactitude des calculs. Ø Interprétation juste des résultats.

Objectif d'apprentissage
L’objectif intégrateur englobe les objectifs d’apprentissages suivants : __1. Exprimer l’énoncé d’un problème concret sous forme d’un système d’équations linéaires.__ L’étudiant devra écrire sous forme de système d’équations linéaires des phénomènes physiques, chimiques, économiques etc. et identifier toutes les contraintes auxquelles ce dernier est soumis afin qu’il soit correctement construit. Cet objectif est relié à l’élément de compétence du cours « 1.Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires ». __2. Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss.__ En effectuant plusieurs opérations élémentaires sur les matrices, l’élève transformera la matrice augmentée [A B] en une matrice escalier équivalente où A est la matrice des coefficients et B celle des inconnues. Cet objectif est relié à l’élément de compétence « 2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles » __3. Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss-Jordan.__ Pour cette partie, l’élève procédera de la même façon que dans la méthode de Gauss en poursuivant avec des opérations sur les matrices jusqu’à la transformation de la matrice des coefficients A en une matrice identité. Cet objectif est relié à l’élément de compétence « 2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles » __4. Interpréter la solution d’un système d’équations linéaires.__ La tâche de l’élève sera de distinguer si un système d’équations linéaires est consistant ou inconsistant (possède une solution ou pas) et d’identifier le nombre de solutions dans le cas d’un système d’équations linéaires consistant. Cet objectif est relié à l’élément de compétence « 2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles ».
 * 1) Exprimer l’énoncé d’un problème concret sous forme d’un système d’équations linéaires.
 * 2) Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss.
 * 3) Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de Gauss-Jordan.
 * 4) Interpréter la solution d’un système d’équations linéaires.

Classification des objectifs selon Bloom
Afin de choisir adéquatement les formules pédagogiques de notre scénario d’enseignement, il est important de connaître le niveau des objectifs dans la taxonomie de Bloom (Bloom, 1969). Afin d’assurer la cohérence de notre séquence de cours, nous avons d’abord réorganisé nos objectifs d’apprentissage. Nous les avons aussi reformulés afin qu’ils soient d’un niveau taxonomique inférieur ou égal à celui de l’objectif intégrateur lequel est de niveau 3 (application). Notre premier objectif d’apprentissage vise la traduction d’un énoncé en langage mathématique en se basant sur les connaissances antérieures. Nous l’avons donc associé au second niveau taxonomique de Bloom, la compréhension. Les trois autres objectifs d’apprentissage de notre séquence de cours visent tous à utiliser les connaissances antérieures afin de résoudre un problème donné, ce qui correspond au troisième niveau taxonomique de Bloom, l’application. Tel que mentionné précédemment, notre objectif intégrateur est également de niveau 3 (application).

**Classification des objectifs selon Tardif**
Selon l’ordre de nos objectifs, l’étudiant aura à utiliser des connaissances déclaratives, procédurales et enfin conditionnelles. L’intégration de ces trois connaissances lui permettra d’atteindre la cible d’apprentissage relative à notre séquence de cours. Pour le premier objectif d’apprentissage, l’élève va devoir élaborer, traiter les nouvelles informations et les organiser de façon à les comprendre et faire le lien entre elles. (Barbeau, 1997). Il pourra exprimer de façon claire l’énoncé du problème concret que nous lui aurons soumis sous forme d’un système d’équations linéaires. Il s’agit donc de connaissances déclaratives selon Tardif (Tardif, 1997). Pour atteindre le deuxième et le troisième objectif, l’élève aura recours à des connaissances procédurales. Il devra intégrer des connaissances pratiques, des méthodes : méthodes de Gauss, méthodes de Gauss-Jordan, qu’il ajustera à son contexte d’utilisation et par la suite, il devra intérioriser et automatiser la procédure pour que ça devienne comme un réflexe pour lui de résoudre des systèmes d’équations linéaires. Enfin, pour le dernier objectif d’apprentissage, l’élève fera appel à des connaissances conditionnelles. Il fera référence aux connaissances déclaratives et procédurales pour faire des choix et faire des critiques. Il sera en mesure d’interpréter les solutions du système qu’il vient de résoudre. (Tardif, 1997) Le tableau I résume les objectifs et le type d’apprentissage visés par cette section de cours. Tableau I. Objectifs et type d’apprentissage visés par le scénario pédagogique.
 * Objectif || Bloom || Tardif ||
 * O - Appliquer dans un contexte concret (traduction) les différentes méthodes de résolution et d'interprétation d'un système d'équations linéaires || 3 : Application || Intégration des 3 connaissances : déclaratives, procédurales et conditionnelles. ||
 * O1- Exprimer l'énoncé d'un problème concret sous forme d'un système d'équations linéaires || 2 : Compréhension || Connaissances déclaratives ||
 * O2 - Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss || 3 : Application || Connaissances procédurales ||
 * O3 - Résoudre un système d'équation linéaires par la méthodes de Gauss-Jordan. || 3 : Application || Connaissances procédurales ||
 * O4 - Interpréter la solution d'un système d'équations linéaires. || 3 : Application || Connaissances conditionnelles ||

Buts généraux pertinents
Parmi les buts généraux du programme //Sciences de la nature// (Ministère de l’éducation, des loisirs et des sports, 2007), cette séquence de cours contribue à l’atteinte des buts suivants : · Appliquer la démarche scientifique; · Résoudre des problèmes de façon systématique; · Utiliser des technologies appropriées de traitement de l'information; · Raisonner avec rigueur; · Communiquer de façon claire et précise; · Apprendre de façon autonome; · Travailler en équipe; · Adopter des attitudes utiles au travail scientifique; · Traiter de situations nouvelles à partir de ses acquis.

Démarche de Rieunier
Dans le but d’élaborer un scénario pédagogique qui nous permettrait d’atteindre les objectifs d’apprentissage cités plus haut et tout en prenant en compte les problématiques liées à ce cours, nous nous sommes assurés que chaque formule et démarche pédagogique choisies soient bien adaptées. Pour ce faire nous avons utilisé la grille de Rieunier. Ainsi, pour nous assister dans notre choix, nous nous sommes posés les questions suivantes avant de procéder à la construction de notre scénario pédagogique : • Quel est le type d’apprentissage visé par l’objectif (Gagné) ? • Comment allons-nous vérifier que cet objectif est atteint (Bloom) ? • Quelle stratégie allons nous mettre en oeuvre pour cela ?

Description de la stratégie pédagogique
Comme nous sommes convaincus que la participation des élèves en classe est un moyen efficace d’apprendre (apprendre ici et maintenant (Aylwin, 1992)) nous privilégierons la méthode active, nous poserons des questions pour faire participer les étudiants et les rendre plus actifs. Avant chaque cours, nous aurons pris le temps de remettre aux étudiants un document sur les notions théoriques du prochain. Ils devront le lire. Nous sommes conscients que seule une partie des étudiants fera une lecture attentive mais nous voulons tout de même les responsabiliser, les rendre actifs dans leur apprentissage. Cette lecture sera profitable pour ceux qui l’auront faite. De plus, au début de chaque nouvelle séquence de cours, nous leur expliquerons les intentions de formation (buts et objectifs à atteindre, rôle de l’étudiant) derrière la séquence.

1. Étant donné les problématiques associées à ce cours, nous avons privilégié une démarche inductive (du concret vers l’abstrait) lors de cette première séance. Ainsi, afin de motiver les étudiants et de concrétiser les notions abstraites qu’ils auront lues, nous suggérons de leur montrer à quoi leur serviront ces notions dans leur future profession. Nous allons donc amorcer cette séquence de cours par une conférence de __30 minutes__. Cette conférence sera donnée par un mathématicien, œuvrant dans le domaine des mathématiques appliquées. Il expliquera aux étudiants en quoi cette partie de la matière lui est utile professionnellement en science de la santé, en science pure et en science appliquée. Nous suggérerons au conférencier de faire sa présentation à l’aide d’un support visuel tel que PowerPoint et de faire au moins une démonstration par domaine d’étude. Cette utilisation des ressources du milieu et de la démonstration comme méthodes d’enseignement favorise l’atteinte de l’objectif **1** et indirectement des objectifs **2 et 3**. 2. Par la suite, nous utiliserons l’exposé, la démonstration et la discussion en plénière pour présenter les concepts suivants : · L’algorithme de calcul d’une matrice échelonnée réduite; · La méthode de résolution d’un système d’équations linéaire de Gauss; · La méthode de résolution d’un système d’équations linéaire de Gauss-Jordan. Cette partie du cours vise spécifiquement les objectifs **2** et **3** et indirectement l’objectif **1** par la présentation d’exemples concrets aux étudiants. Nous jugeons qu’il est nécessaire d’utiliser l’exposé afin de présenter méthodiquement et efficacement un grand nombre d’informations sur les trois notions théoriques énoncées précédemment. Notre exposé sera interactif (avec des liens vers les démonstrations) et basé sur les notes de cours préalablement distribuées aux étudiants. Les étudiants pourront en profiter pour ajouter les informations qu’ils désirent afin de compléter les notes de cours. Nous utiliserons l’exposé sous cette forme afin que l’étudiant ait le temps d’écouter, d’être actif dans le cours et ne soit pas occupé par sa prise de notes. La démonstration s’intègre bien à l’exposé afin de concrétiser la théorie, pour sortir de l’abstrait. On peut donner des exemples concrets provenant des autres cours du programme. Cette méthode favorise donc le transfert et l’intégration des connaissances. Cette méthode peut également être employée afin de prouver les notions théoriques de ce cours. Nous croyons qu’à ce stade du cours, il est important que l’enseignant délaisse momentanément les TIC et utilise la méthode traditionnelle du tableau. Finalement, durant l’exposé nous prévoyons effectuer des discussions en plénière afin de résoudre collectivement un problème complexe en salle en animant des discussions pour justifier nos choix. De plus, nous laisserons du temps aux étudiants pour qu’ils émettent des commentaires et qu’ils posent des questions afin de susciter la discussion élèves-professeur et pourquoi pas élèves-élèves. C’est une manière de laisser les étudiants s’exprimer sur ce qu’ils ont compris ou pas compris ce qui, en définitive, permettrait au professeur d’avoir à chaque étape de l’exposé un écho de ce qu’il a communiqué. Nous prévoyons une durée __d’une heure quinze minutes__ pour l’ensemble de cette activité. Après une pause de 10 minutes (nous prévoyons 15 minutes), nous laisserons __une heure__ aux étudiants pour qu’ils réalisent une série d’exercices. 3. La méthode des exercices répétitifs est largement utilisée en mathématiques et nous croyons qu’il est primordial de l’intégrer à notre séquence de cours. Nous prévoyons faire travailler les élèves par groupe de deux, car nous ne pouvons pas laisser énormément de temps aux étudiants pour cette activité, nous voulons nous assurer que tous s’impliquent dans la résolution des problèmes et par le fait même apprendre entre eux. Les exercices permettent à l’étudiant d’acquérir une bonne méthodologie par l’exécution répétée de problèmes du même type en classe et à la maison. Ces derniers apprennent à reconnaître des patrons dans les équations à résoudre ce qui leur permet de choisir la bonne méthode de résolution. Ils développent ainsi leur intuition, ce qui pour nous, est très important car cela fait partie de notre problématique. Ainsi, cette séquence d’exercices permet d’atteindre les objectifs **2**, **3** et par la résolution de problèmes concrets l’objectif **1**. Au-delà des objectifs d’apprentissages, nous visons pour nos élèves le développement de la capacité de mobiliser leurs connaissances pour trouver des solutions à des problèmes nouveaux jamais rencontrés (c’est le développement de stratégies cognitives). 4. De retour à la maison, nous nous attendons à ce que l’étudiant fournisse un travail individuel hebdomadaire de 3 heures à la maison. Nous voulons donc que les étudiants complètent les exercices et lisent la théorie pour le cours suivant. De plus, nous demanderons aux étudiants de compléter un questionnaire d’autoévaluation sur un logiciel similaire à NetQuiz.
 * __Cours 1 (3 heures)__**

Par notre propre expérience d’élèves et de professeur nous savons qu’en mathématiques, les étudiants ont toujours eu d’interminables notes de cours à prendre tout en écoutant l’enseignant qui les écrivait au tableau lors d’un cours magistral. Nous croyons qu’écrire est une bonne façon d’apprendre, mais nous trouvons cette méthode déplorable, car les étudiants ne peuvent pas se concentrer sur ce que dit l’enseignant. C’est pourquoi notre exposé sera interactif. Nous croyons qu’il est préférable d’utiliser un support visuel pour stimuler autant les élèves auditifs que visuels. Nous utiliserons une présentation de type PowerPoint et un document Word afin de projeter les notes de cours. Ce fichier comprendra aussi des liens vers des démonstrations sur Matlab (un logiciel de calcul numérique et de visualisation). D’autres liens mèneront à d’autres types de démonstrations, aux exercices à faire et aux autoévaluations. L’étudiant aura accès à toutes les ressources électroniques du cours (notes de cours, liens, Matlab, Netquiz, wiki, grilles d’évaluation, plan de cours) sur DECclic. Ceci favorisera la transparence, l’étudiant aura à sa disposition tout le matériel nécessaire pour assurer sa réussite scolaire.
 * __Justification de l’utilisation d’un support visuel tel que PowerPoint__**

Nous croyons que les quiz (formatif et/ou sommatif) sont un excellent moyen pour compléter cette formule pédagogique. En effet, les quiz tout comme les exercices répétitifs favorisent l’apparition des automatismes (automatiser la précision et la rapidité d’une performance dans un domaine). Une autoévaluation par le biais d’un logiciel similaire à NetQuiz nous permettrait de connaître les lacunes et les difficultés rencontrées par chaque étudiant. De cette façon, nous pourrons adapter et mieux gérer le prochain cours.
 * __Justification de l’utilisation d’un logiciel similaire à Netquiz pour supporter les exercices répétitifs__**

1. Le deuxième cours débutera par un retour sur les notions les moins bien comprises lors du cours précédant concernant la résolution de systèmes d’équations linéaires. 2. Nous aborderons par la suite la nature des solutions d’un système d’équations linéaires ainsi que le nombre de solutions. Dans l’optique d’une démarche inductive, nous voulons procéder par des exemples tirés des notes de cours interactives dont l’utilisation a déjà été justifiée. L’approche par problèmes est une formule que nous jugeons adéquate et surtout fructueuse pour cette partie du cours. Nous présenterons plusieurs exemples de systèmes d’équations linéaires. Pour chaque exemple pertinent, nous laisserons les étudiants chercher un grand nombre de propositions, de solutions en s’appuyant sur leurs notes de cours et livres. Ces propositions seront notées au tableau. Ils pourront ensuite en discuter entre eux. La synthèse de toutes les informations collectées servira à valider la solution. En prenant le soin de soumettre aux étudiants des exemples de matrices extraites de cas concrets et en considérant l’aspect actif de l’approche par problèmes, nous prévoyons que cette démarche aille susciter chez nos étudiants la motivation et l’intérêt en plus de développer leur intuition et de favoriser l’intégration et le transfert des connaissances. Cette partie de cours vise l’objectif **4** et indirectement par la résolution de problème, tous les autres objectifs de cette séquence de cours. Elle sera d’une durée de __45 minutes__. 3. Par la suite, nous laisserons __30 minutes__ aux étudiants afin qu’ils effectuent une série d’exercices d’interprétation. L’utilisation des exercices répétitifs a déjà été justifiée précédemment lors de ce travail. Encore une fois, tous les objectifs d’apprentissages de la séquence de cours seront visés par cette activité. 4. À ce stade du cours, nous estimons que les étudiants auront toutes les connaissances et tous les outils leur permettant de résoudre des systèmes linéaires simples à la main et donc que le temps serait propice pour aborder des cas plus complexes (plus de trois inconnues) en laboratoire informatique grâce à un logiciel comme Matlab. Le laboratoire est une formule qui s’applique très bien à notre sujet surtout pour ces systèmes à plus de trois variables qui sont assez lourds à résoudre à la main. En fait, de tels systèmes d’équations sont que très rarement résolus à la main dans les situations concrètes, de la vraie vie. Cette première séance de laboratoire, d’une durée de __45 minutes,__ sera consacrée à la présentation du logiciel Matlab. Nous soumettrons un projet basé sur une application concrète à résoudre avec Matlab aux étudiants. Nous leur remettrons simultanément la grille d’évaluation afin de s’assurer que tous assimilent la nature de la tâche à réaliser. Le projet a pour but d’évaluer le niveau d’intégration de toutes les notions présentées dans cette section de cours (vise tous les objectifs). Le projet se fera par équipe de trois, chaque équipe aura une problématique différente à résoudre. Cette activité rendra les étudiants actifs dans leur apprentissage, favorisera le transfert et l’intégration des connaissances du cours ainsi que concrétisera les notions théoriques à leurs yeux. 5. Les étudiants pourront profiter d’une heure au prochain cours pour compléter leur travail. Étant donné que nous jugeons que ce ne sera pas suffisant pour compléter, ils doivent avancer leur projet à l’extérieur des heures de cours.
 * __2e cours (2 heures)__**

Le recours à des logiciels permettant le traitement des matrices comme Matlab ou Maple initie l’étudiant à des outils qui lui seront réellement utiles dans sa future profession. Cette approche est aussi très avantageuse puisqu’elle sort l’étudiant de la routine en lui permettant de travailler sur un ordinateur dans le cadre du cours, ce qui peut être motivant pour lui jusqu’à un certain point. De plus, l’utilisation de logiciels l’aidera à se familiariser avec l’informatique et plus particulièrement la programmation ainsi que l’utilisation des logiciels de calcul formel ou calcul numérique. Nous pensons qu’il est essentiel d’acquérir cette double compétence, car elle aidera les élèves à bien réussir dans leur future profession.
 * __Justification de l’utilisation de Matlab__**

À la fin de cette heure de cours, les étudiants devront avoir complété leur projet et remis une présentation de ce dernier sur le wiki du cours. Au prochain cours, l’enseignant remettra son évaluation aux étudiants en leur donnant de la rétroaction sur ce qui a été bien et moins bien réussi. D’ici là, les étudiants devront lire les présentations des autres équipes et aussi se préparer à l’examen sommatif sur le premier bloc de cours qui aura lieu deux cours plus tard. Les étudiants connaissent la date, le contenu et les critères de cette évaluation depuis le début de la session. Finalement, il est à noter que les étudiants seront à nouveau évalués sur le niveau d’atteinte de l’objectif intégrateur de cette séquence de cours lors de l’examen synthèse sommatif à la fin de la session. Encore une fois, les étudiants connaissent la date, le contenu et les critères de cette évaluation depuis le début de la session.
 * __3e cours (1 heure) Le laboratoire__**

En raison d’un emploi du temps chargé, il serait difficile de demander à chaque équipe de présenter oralement les résultats de leurs travaux. Pour cette raison et puisque nous jugeons nécessaire que les étudiants prennent connaissance des travaux des autres, nous leur demanderons de déposer un résumé d’une page de leur travail sur le wiki du cours. Les étudiants trouveront un lien sur DECclic ainsi qu’un procédural leur expliquant la démarche à suivre. Cette activité leur permettra de se familiariser avec une nouvelle technologie de l’information. Un forum (non obligatoire) sur DECclic leur permettra d’échanger sur leurs travaux. Par ailleurs, la présentation des travaux des étudiants sur le wiki du cours favorisera le transfert des connaissances. En effet, simplement en lisant les problématiques suggérées aux autres étudiants, ils découvriront de nouvelles applications dans leur domaine d’étude.
 * __Justification de l’utilisation du Wiki__**

=ANNEXE 1 : Énoncé de la compétence 00UQ du MEQ= 2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles. 3. Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre. 4. Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections. 5. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes. 6. Démontrer des propositions. 7. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace. || Utilisation appropriée des concepts. Représentation de situations sous forme de vecteurs et de matrices. Application correcte d’algorithmes. Résolution juste de systèmes linéaires. Représentation adéquate de lieux de l’espace. Justification des étapes du raisonnement. Manipulations algébriques conforme aux règles. Exactitude des calculs. Interprétation juste des résultats. Utilisation d’une terminologie appropriée. ||
 * Objectif || Standard ||
 * Énoncé de la compétence || Contexte de réalisation ||
 * Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes. ||  ||
 * Éléments de la compétence || Critères de performance ||
 * 1. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires.


 * Activités d’apprentissage ||
 * **__Champ d’études :__** Sciences de la nature
 * __Discipline :__** Mathématique
 * __Pondération :__** 3-2-3
 * __Nombre d’unités :__** 2 2/3
 * __Nombre d’unités :__** 2 2/3

Matrice et déterminant : définitions, propriétés, opérations, applications. Méthodes de Gauss-Jordan et de la matrice inverse pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. Vecteurs géométriques et algébriques : définition, représentation, propriétés, opérations, applications. Produits de vecteurs : scalaire, vectoriel et mixte. Espace vectoriel : repère, base, dimension, combinaison linéaire, indépendance linéaire. Applications géométriques : droites et plans, intersections de lieux, calculs d’angles et de distances. ||
 * __Précisions__**

=ANNEXE 2 : Plan de cours (Algèbre linéaire et géométrie vectorielle)=

Nous vous suggérons de consulter le document Word pour mieux visualiser le plan de cours.
 * CÉGEP CONFIDENTIEL

Programme : Sciences de la nature (200.B0)

Département de mathématiques

Plan de cours


 * Algèbre linéaire et géométrie vectorielle**

Code du cours : 201-**NYC-**05 (Sciences de la nature) Pondération : 3-2-3 Unités : 2 2/3 Durée : 75 périodes Session : Automne 2006

Professeurs : Confidentiel local A-211 téléphone : 2217 Confidentiel local A-210 téléphone : 2173 Confidentiel local A-210 téléphone : 2173 ||


 * lundi ||
 * mardi ||
 * mercredi ||
 * jeudi ||
 * vendredi ||
 * Périodes de disponibilité ||
 * Périodes de disponibilité ||
 * Périodes de disponibilité ||


 * 1.** **PRÉSENTATION DU COURS**

Au Cégep, le cours //Algèbre linéaire et géométrie vectorielle// est obligatoire dans le programme de Sciences de la nature. Il en est de même des cours //Calcul différentiel// et //Calcul intégral//.

Le cours //Algèbre linéaire et géométrie vectorielle// contribue à atteindre plusieurs des buts généraux du programme de Sciences de la nature :

• Appliquer la démarche scientifique • Résoudre des problèmes de façon systématique • Raisonner avec rigueur • Communiquer de façon claire et précise • Apprendre de façon autonome • Développer des attitudes propres au travail scientifique • Traiter des situations nouvelles à partir de ses acquis

De façon plus concrète, le cours permet :

• de maîtriser les techniques de résolution des systèmes d’équations linéaires; • d’acquérir une connaissance pratique des espaces euclidiens; • de développer une vision dynamique des matrices et des vecteurs comme outils facilitant l’étude de la droite et du plan.

Dans ce cours, l’élève apprendra à faire des preuves, à présenter sa démarche mathématique de façon rigoureuse, à visualiser dans l’espace et à maîtriser de nouveaux algorithmes. La synthèse des savoirs, savoir-faire et savoir-être conduira au développement des habiletés en résolution de problèmes, problèmes associés aux concepts de matrice, de déterminant, de vecteur et de géométrie analytique de l’espace.

Les apprentissages seront transférables à d’autres cours de mathématiques et à d’autres disciplines : chimie, physique, économie, etc. À cet effet, de nombreux exemples interdisciplinaires viendront enrichir le cours. Le professeur situera les principaux concepts dans leur contexte historique.


 * 2.** **OBJECTIFS DE FORMATION FONDAMENTALE**

Le cours propose quelques mesures pour faciliter l’atteinte de quatre des cinq objectifs prioritaires du projet de formation fondamentale du Cégep.

a) __Maîtriser la langue française orale et écrite et être capable de s'exprimer et d'écrire de façon cohérente__

L'élève devra accorder une attention particulière aux exerci­ces et problèmes nécessitant la lecture et la compréhension d'un texte. La conclusion devra être écrite à l'aide de phrases complètes.

b) __Développer des habiletés d'analyse, de synthèse, de critique à travers un processus de pensée logique__

Pour atteindre cet objectif, le professeur privilégiera les moyens suivants :

• retours fréquents sur des notions déjà étudiées; • preuves ou exercices théoriques; • solutions claires et détaillées, avec les justifications; • modèles de solution; • utilisation de concepts de base pour limiter la mémorisation.

c) __Acquérir une méthode de travail intellectuel organisée et efficace__

Le professeur favorisera la production de résumés par les élèves et insistera sur l'importance d'une bonne méthode de travail. Une grande attention sera accordée aux notes de cours et aux solutions des exercices; elles devront être claires et ordonnées.

d) __Maîtriser les habiletés mathématiques de base__

Comme tout cours de mathématiques, le cours contribuera à l'atteinte de cet objectif de formation fondamentale.


 * 3.** **OBJECTIF TERMINAL**


 * //ÉNONCÉ DE LA COMPÉTENCE//**

Appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes.


 * //CONTEXTE DE RÉALISATION//**

L’élève sera soumis à une épreuve finale portant sur la résolution de problèmes, à partir de situations pratiques ou théoriques. Cette épreuve sera réalisée individuellement, sans aucune documentation, au moyen d’une calculatrice.

(5 %) || • Utilisation d’une terminologie appropriée. || (20 %) || • Résolution juste de systèmes linéaires. • Manipulations algébriques conformes aux règles. • Exactitude des calculs. • Interprétation juste des résultats. || (10 %) || • Interprétation juste des résultats. || (15 %) || • Application correcte d’algorithmes. • Représentation adéquate de lieux de l’espace. • Manipulations algébriques conformes aux règles. • Interprétation juste des résultats. • Utilisation d’une terminologie appropriée. || (20 %) || • Représentation de situations sous forme de vecteurs et de matrices. • Justification des étapes du raisonnement. • Exactitude des calculs. || (10 %) || • Justification des étapes du raisonnement. • Interprétation juste des résultats. • Utilisation d’une terminologie appropriée. || (5 %) || (15 %) || • Manipulations algébriques conformes aux règles. ||
 * **Éléments de la compétence** ||
 * **Critères de performance** ||
 * A. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires.
 * A. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations linéaires.
 * • Justification des étapes du raisonnement.
 * B. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles.
 * B. Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de méthodes matricielles.
 * • Application correcte d’algorithmes.
 * C. Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre.
 * C. Établir des liens entre la géométrie et l’algèbre.
 * • Représentation adéquate de lieux de l’espace.
 * D. Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections.
 * D. Établir l’équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections.
 * • Représentation de situations sous forme de vecteurs et de matrices.
 * E. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes.
 * E. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes.
 * • Utilisation appropriée des concepts.
 * F. Démontrer des propositions.
 * F. Démontrer des propositions.
 * • Utilisation appropriée des concepts.
 * G. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace.
 * G. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l’espace.
 * • Représentation adéquate de lieux de l’espace. ||
 * H. Reconnaître les propriétés et les opérations de structures algébriques telles que les vecteurs, les nombres complexes et les polynômes.
 * H. Reconnaître les propriétés et les opérations de structures algébriques telles que les vecteurs, les nombres complexes et les polynômes.
 * • Utilisation d’une terminologie appropriée.


 * 4.** **OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE**


 * PREMIER BLOC**

• Addition de matrices, multiplication d’une matrice par un scalaire. • Produit matriciel. ||
 * **Objectifs**
 * spécifiques** ||
 * **Éléments**
 * de**
 * compétence** ||
 * **Contenu** ||
 * **Activités d’enseignement et**
 * d’apprentissage;**
 * évaluations** ||
 * **Périodes** ||
 * S’approprier le plan de cours. ||
 * 1 ||
 * Effectuer des opérations sur les matrices. ||
 * A ||
 * • Définition de matrice, situations concrètes, matrices particulières.
 * Effectuer des opérations sur les matrices. ||
 * A ||
 * • Définition de matrice, situations concrètes, matrices particulières.
 * Exposés magistraux

Prise de notes || des propriétés sur les matrices. || • Inversion de matrice (Gauss-Jordan). || • Résolution. • Interprétation des résultats. || Test 1 (10 %) || 1 ||
 * 2 ||
 * Démontrer et utiliser
 * Démontrer et utiliser
 * F ||
 * • Propriétés des opérations matricielles. ||
 * Exercices ||
 * 2 ||
 * Résoudre un **système d’équations linéaires (S.E.L.)** par la méthode de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. ||
 * B ||
 * • Opérations élémentaires, matrice échelon, matrice augmentée.
 * • Opérations élémentaires, matrice échelon, matrice augmentée.
 * Production de résumés ||
 * 5 ||
 * Résoudre des problèmes à contexte par un **S.E.L**. ||
 * A-B ||
 * • Mise en équations.
 * • Mise en équations.
 * Évaluations formatives ||
 * 1 ||
 * Exercices
 * Exercices
 * Exercices
 * Exercices
 * Exercices
 * 1

Premier bloc 13


 * DEUXIÈME BLOC**

démontrer et utiliser leurs propriétés. || • Méthode de Sarrus. • Propriétés. || à l’aide de la matrice inverse. || • Résolution d’une équation matricielle. || à l’aide des déterminants. || • Applications à d’autres disciplines. || • Addition, soustraction, multiplication, division. || • Utilisation: force, vitesse, moment. || • Loi de Chasles. • Loi des sinus et loi du cosinus. • Applications. ||
 * **Objectifs**
 * spécifiques** ||
 * **Éléments**
 * de**
 * compétence** ||
 * **Contenu** ||
 * **Activités d’enseignement et**
 * d’apprentissage;**
 * évaluations** ||
 * **Périodes** ||
 * Calculer des déterminants,
 * Calculer des déterminants,
 * F ||
 * • Définition, mineurs, cofacteurs.
 * Exposés magistraux ||
 * 5 ||
 * Résoudre un **S.E.L.**
 * Résoudre un **S.E.L.**
 * B ||
 * • Inversion de matrices par la méthode des cofacteurs.
 * Prise de notes ||
 * 3 ||
 * Résoudre un **S.E.L.**
 * Résoudre un **S.E.L.**
 * B ||
 * • Règle de Cramer.
 * Exercices ||
 * 2 ||
 * Effectuer des opérations sur les nombres complexes. ||
 * H ||
 * • Formes rectangulaires et polaires.
 * • Formes rectangulaires et polaires.
 * 3 ||
 * Reconnaître l’utilité du vecteur géométrique en mathématiques et en sciences. ||
 * C ||
 * • Définitions et caractéristiques.
 * C ||
 * • Définitions et caractéristiques.
 * Production de résumés ||
 * 1 ||
 * Utiliser l’addition de vecteurs géométriques et le produit d’un vecteur par un scalaire dans des situations concrètes. ||
 * C-F ||
 * • Définition et propriétés.
 * • Définition et propriétés.
 * Évaluations formatives ||
 * 5 ||
 * Laboratoire informatique
 * Laboratoire informatique
 * Laboratoire informatique
 * Laboratoire informatique
 * Laboratoire informatique

Exercices

Test 2 (25 %) ||
 * 2

2

2 ||

Deuxième bloc 25 Cumulatif 38


 * TROISIÈME BLOC**


 * **Objectifs**
 * spécifiques** ||
 * **Éléments**
 * de**
 * compétence** ||
 * **Contenu** ||
 * **Activités d’enseignement et**
 * d’apprentissage;**
 * évaluations** ||
 * **Périodes** ||

• Opérations et propriétés. • Repérage d’un point sur un segment de droite. || • Exemples: R2, R3, Rn, Mmxn, R[x], etc. ||
 * Utiliser le vecteur algébrique dans la résolution de problèmes. ||
 * C-F ||
 * • Définition, norme.
 * Exposés magistraux ||
 * 3 ||
 * Identifier une structure d’espace vectoriel. ||
 * F ||
 * • Définition.
 * • Définition.
 * Prise de notes ||
 * 1 ||

• Recherche d’une combinaison linéaire. || • Vecteurs parallèles ou coplanaires (critères). || • Unicité de la décomposition. Dimension. • Bases orthogonales ou orthonormées. ||
 * Écrire un vecteur comme une combinaison linéaire d’autres vecteurs. ||
 * A-B ||
 * • Définition.
 * Exercices ||
 * 1 ||
 * Déterminer l’indépendance linéaire de vecteurs et donner l’interprétation géométrique. ||
 * A-B-C ||
 * • Définition.
 * • Définition.
 * 2 ||
 * Identifier une base d’un espace vectoriel. ||
 * A-B-F ||
 * • Définition.
 * A-B-F ||
 * • Définition.
 * Production de résumés ||
 * 3 ||

• Vecteurs perpendiculaires. • Vecteur projection. • Travail d’une force qui produit un déplacement. || • Aire de parallélogrammes. • Moment d’une force. || • Vecteurs coplanaires. || Test 3 (25 %) || 2 ||
 * Appliquer le produit scalaire à la géométrie. ||
 * C-E ||
 * • Angles entre vecteurs.
 * 3 ||
 * Appliquer le produit vectoriel à la géométrie. ||
 * C-E ||
 * • Vecteur perpendiculaire à deux autres.
 * C-E ||
 * • Vecteur perpendiculaire à deux autres.
 * Évaluations formatives ||
 * 3 ||
 * Appliquer le produit mixte à la géométrie. ||
 * C-E ||
 * • Volume d’un parallélépipède.
 * • Volume d’un parallélépipède.
 * 2 ||
 * Exercices
 * Exercices
 * Exercices
 * Exercices
 * 2

Troisième bloc 22 Cumulatif 60


 * QUATRIÈME BLOC**

• Positions relatives de deux droites (angle, intersection, distance). ||
 * **Objectifs**
 * spécifiques** ||
 * **Éléments**
 * de**
 * compétence** ||
 * **Contenu** ||
 * **Activités d’enseignement et**
 * d’apprentissage;**
 * évaluations** ||
 * **Périodes** ||
 * Utiliser les vecteurs dans l’étude des droites de R3. ||
 * C-D-G-E ||
 * • Formes vectorielle, paramétrique et symétrique.
 * • Formes vectorielle, paramétrique et symétrique.
 * Exposés magistraux

Prise de notes

Exercices || • Positions relatives de droites et de plans (angles, intersection, distance). || D-E-F-G || • Problèmes de synthèse. ||
 * 6 ||
 * Utiliser les vecteurs dans l’étude des plans de R3. ||
 * C-D-G-E ||
 * • Formes vectorielle, paramétrique et cartésienne.
 * • Formes vectorielle, paramétrique et cartésienne.
 * Production de résumés ||
 * 6 ||
 * Intégrer les principaux concepts du cours. ||
 * A-B-C-
 * A-B-C-
 * • Applications à diverses disciplines.
 * Évaluations formatives ||
 * 3 ||

Quatrième bloc 15 Cumulatif 75

Un **examen final**, portant sur l’ensemble du cours et d'une durée de trois heures, sera donné à la fin de la session, à une date fixée par le collège.


 * 5.** **MÉTHODOLOGIE**

Le cours comporte des __exposés magistraux__ entrecoupés de nombreux exemples et de __séances d’exercices__ à exécuter en classe par les élèves. La pondération de ce cours exige en moyenne __trois périodes par semaine de travail personnel à l’extérieur de la classe__. Un travail régulier est essentiel à la réussite du cours. Au besoin, l’élève pourra consulter le professeur à son bureau.

Deux périodes de __laboratoire informatique__ sont prévues, dans le but de se familiariser à certains logiciels permettant la résolution de problèmes traités dans le cours.

Selon la politique du collège, et dans le but de favoriser la réussite du cours, __la présence au cours est obligatoire en tout temps__ (voir la rubrique //Évaluation//). En cas d’absence, l’élève a l’entière responsabilité d’obtenir d’un autre élève les informations relatives au cours manqué.


 * 6.** **ÉVALUATION**

À la fin de chaque chapitre et avant chaque test, il y aura une //évaluation formative// pour permettre aux élèves de mesurer leur maîtrise de la matière. Le professeur leur fournira un solutionnaire pour qu’ils puissent corriger eux-mêmes leurs erreurs. //L’évaluation sommative// sera répartie de la façon suivante :

Test 2 Test 3 || 25 25 || 2 périodes 2 périodes || périodes 37 et 38 périodes 59 et 60 ||
 * Évaluation ||
 * Pondération ||
 * Durée ||
 * Moment prévu ||
 * Test 1
 * Test 1
 * 10
 * 1 période
 * période 13
 * Examen final ||
 * 40 ||
 * 3 heures ||
 * fin de la session ||
 * fin de la session ||

Conformément à la politique de présence aux cours de mathématiques, __un point pourra être enlevé de la note finale pour chaque période d’absence, à partir de la septième absence__. La ponctualité est toujours de mise, ce qui va de pair avec le respect des autres. Les __retardataires__ pourraient se voir refuser l'accès au local de classe. De plus, les départs et retards non justifiés avant la fin d'un cours pourront être considérés comme une absence.

Dans les évaluations sommatives, le professeur tiendra compte de la présentation et de la qualité du français. Le professeur avertira les élèves des modalités de correction. La pénalité maximale sera de 10 % pour la présentation et pour la qualité du français.

__En cas d’absence à un test, le professeur devra être prévenu avant la prochaine rencontre__. Toute absence non justifiée sera sanctionnée par la note ZÉRO. Dans le cas où le motif de l’absence aura été accepté, le professeur déterminera la forme, la durée, la note maximale, la difficulté et le moment d’un test de remplacement.

En cours de session, toute demande de __révision de note__ doit être faite dans les sept jours ouvrables qui suivent la remise des copies corrigées. S’il n’y a pas entente entre le professeur et l’élève, le département de mathématiques formera un comité pour étudier la question. L’élève peut se faire entendre par le comité.

Les calculatrices permettant de résoudre des systèmes d’équations linéaires pourraient être interdites lors de certaines évaluations. L’élève en sera prévenu à l’avance.


 * 7.** **MÉDIAGRAPHIE**

=Volume obligatoire=


 * CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. //Algèbre linéaire et géométrie vectorielle// (3e édition), Laval, GB Groupe Beauchemin, éditeur ltée, 2005, 556 pages**.

=Volumes disponibles à la bibliothèque pour consultation=

AMYOTTE, Luc. //Introduction à l'algèbre linéaire et à ses applications// (2e édition), Saint‑Laurent, Éditons du Renouveau pédagogique Inc., 2003, 542 pages.

BEAUDOIN, Germain. //Algèbre linéaire et géométrie vectorielle// (Volume 1 et 2), Québec, Les Presses de l’université Laval, 1988.

LACASSE, Raynald, et Jules LALIBERTÉ. //Algèbre linéaire//, Sher­brooke, Loze-Dion éditeur inc., 1991, 293 pages.

MARTEL, Paul A., et Ginette OUELLETTE. //Introduction à l'algè­bre linéaire//, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1991, 572 pages.

PAPILLON, Vincent. //Vecteurs, matrices et nombres complexes//, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1993, 387 pages.

ROSS, André. //Algèbre linéaire et géométrie vectorielle// (Applications en sciences de la nature), Mont-Royal, Les Éditions Le Griffon d’argile, 2003, 450 pages.

Autres volumes
BEAUDOIN, Germain. //Math 105//, Montréal, Les Éditons BL, 1998, 430 pages.

LACASSE, Raynald. //Algèbre linéaire// (2e édition), Longueuil, Loze-Dion éditeur inc., 2002, 323 pages.

OUELLET, Gilles. //Algèbre linéaire - vecteurs et géométrie//, Sainte-Foy, Les Édi­tions Le Griffon d'argile, 2002, 528 pages. =ANNEXE III : Réflexions sur les méthodes d'enseignement en lien avec notre domaine d'étude.=

Nous pensons que c’est une grande méthode qui en englobe d’autres. En mathématiques, nous utiliserons certainement cette méthode, mais via d’autres.
 * __L'apprentissage coopératif__**

Cette technique est largement utilisée en mathématiques et nous croyons qu’il serait intéressant de l’intégrer à notre séquence de cours. Cette méthode permet à l’étudiant d’acquérir une bonne méthodologie par l’exécution répétée d’exercices du même type en classe ou à la maison. De plus, elle permet de développer l’intuition des étudiants. Ces derniers apprennent à reconnaître des patrons dans les équations à résoudre ce qui leur permet de choisir la bonne méthode de résolution. Nous pourrions intégrer les TIC à cette méthode par l’utilisation de logiciels similaires à Netquiz. Tout comme les exercices répétitifs, les quiz favorisent également d’une certaine façon l’apparition des automatismes (automatiser la précision et la rapidité d’une performance dans un domaine). En plus, cette activité permet à l’enseignant de connaître les difficultés de ses étudiants et aux étudiants de développer leur autonomie dans l’apprentissage.
 * __Les exercices répétitifs__**

Nous croyons que cette méthode est un excellent moyen de favoriser le transfert et l’intégration des connaissances en plus de permettre d’évoquer des exemples concrets d’utilisation de concepts abstraits. En effet, l’apprentissage par problème permet l’utilisation d’un exemple concret dans les domaines où se dirigent les étudiants (sciences pures, de la santé et appliquées). Les étudiants doivent utiliser les trois types de connaissance pour résoudre le problème exposé. Ils doivent construire le système d’équations linéaires, choisir la bonne méthode pour le résoudre, résoudre le système et interpréter la solution. Nous considérons que cette méthode pourrait très bien s’appliquer seule dans le cadre du cours suite à une série d’exercices répétitifs. Elle pourrait aussi s’appliquer en combinaison avec le laboratoire pour résoudre des problèmes d’un plus niveau de difficulté (pour ceux que l’on ne peut pas résoudre à la main facilement). Par exemple, le logiciel Calcul en images du CCDMD serait un bon outil d’application de cette méthode en mathématiques.
 * __L'apprentissage par problème__**

L’exposé est définitivement utile en mathématiques principalement pour présenter la théorie. C’est le cours magistral ! Lors d’un exposé, il est préférable d’utiliser un support visuel pour stimuler autant les élèves auditifs que ceux qui sont visuels. En mathématiques les étudiants ont toujours eu d’interminables notes de cours à prendre en suivant l’enseignant qui les écrivait au tableau. Nous croyons qu’écrire est une bonne façon d’apprendre, mais nous trouvons cette méthode déplorable, car les étudiants ne peuvent pas se concentrer sur ce que dit l’enseignant. Ainsi une partie des notes devrait être fournie aux étudiants dès le début du cours. Les étudiants pourront ajouter l’information qu’ils désirent afin de compléter les notes de cours. Le texte donné aux étudiants peut aussi être troué pour que l’étudiant ait à ajouter les concepts importants et pour conserver son attention. Ce qui est important c’est que l’étudiant ait le temps d’être actif dans le cours et n’est pas occupé par sa prise de notes. Le texte des notes de cours peut être en format papier, mais être présenté aux étudiants de façon interactive via l’utilisation du logiciel approprié. Par exemple, ce peut être une présentation de type PowerPoint avec des liens qui mènent à des simulations, à des démonstrations, aux exercices à faire, aux autoévaluations.
 * __L'exposé__**

Cette méthode ne correspond pas à nos attentes.
 * __Le jeu de rôle__**

Il est possible d’appliquer cette formule pédagogique à notre problématique, mais c’est un peu difficile et même un peu « forcé ». Selon nous, cette méthode pourrait être utilisée lors d’une discussion pour identifier le type (système consistant ou inconsistant) et le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires. D’une certaine façon, nous pouvons dire que nous posons un diagnostique sur notre système. Le « cas » dans notre domaine est un problème dont nous devons faire un « débat », utiliser diverses opérations intellectuelles, pour discuter et analyser les solutions trouvées. Nous croyons que les TIC peuvent être intégrés à cette méthode par la participation à divers forum spécialisés afin d’analyser différentes méthodes de résolution pour résoudre plusieurs types de système d’équations linéaires. Les opinions émises (pour ou contre) dans les discussions sur ce forum constituent l’étude de cas d’un problème. Cependant, pour les élèves de notre domaine cette approche nous semble plus ou moins attrayante.
 * __Étude de cas__**

Nous ne sommes pas très convaincus de l’utilisation de cette méthode. À la limite nous pourrions utiliser le groupe de discussion pour résoudre collectivement un problème complexe en salle en animant des discussions pour justifier nos choix, possiblement en plénière. Suite à la discussion, les étudiants auraient à travailler en équipe sur des exercices similaires dont le niveau de difficulté serait plus élevé pour terminer par une activité plus complexe réalisée individuellement. Cette méthode est certainement applicable en mathématiques et pour notre problématique. Elle est complémentaire à d’autres méthodes. On peut l’utiliser pour favoriser l’apprentissage coopératif. Par la suite, on demande à l’étudiant de réaliser seul un travail de nature similaire avec un niveau de difficulté légèrement plus élevé.
 * __Le groupe de discussion__**
 * __Le travail en équipe__**

Le laboratoire s’appliquerait très bien à notre sujet surtout pour des systèmes à plus de trois variables qui sont assez lourds à résoudre à la main. De tels systèmes d’équations sont que très rarement résolus à la main dans les situations concrètes, de la vraie vie. Ainsi le recours à des logiciels permettant le traitement des matrices comme Matlab ou Maple initie l’étudiant à des outils qui lui seront réellement utiles. Par contre, avant de procéder au laboratoire, nous croyons qu’il est primordial de s’assurer que l’étudiant est en mesure de résoudre par lui-même en système d’équations linéaires simple. L’avantage de cette méthode est qu’elle sort l’étudiant de la routine en lui permettant de travailler sur un ordinateur dans le cadre du cours, ce qui peut être motivant pour eux jusqu’à un certain point. Par contre, les contraintes de temps nous empêchent de donner une formation adéquate sur les logiciels à utiliser. De plus, il faut s’assurer que les étudiants savent comment interpréter les résultats que le logiciel leur fournis.
 * __Le laboratoire__**

C’est une méthode facilement utilisable dans notre domaine. On peut l’exploiter pour les relations d’aide en complémentarité avec d’autres méthodes.
 * __L'enseignement par les pairs__**

Cette méthode semble super intéressante. Par contre à chaque fois que nous pensons à une application, nous avons l’impression que ça correspond plus à une recherche guidée qu’à un projet. Cette méthode favorise l’intégration et le transfert des connaissances. Ce pourrait être un projet de session en vue d’appliquer les concepts vus en classe dans un autre domaine pour en démontrer l’utilité. Étant donné qu’on se limite à une séquence de cours, ça ne laisse pas le temps de réaliser un projet d’une envergure intéressante. Les TIC pourraient être intégrés en jumelant le projet au laboratoire sur Matlab ou Maple.
 * __Le projet__**

Nous pourrions inviter un ou des experts qui viendrait faire une conférence sur une application professionnelle des concepts vus en classe. En fait, ce pourrait être une série d’applications professionnelles dans chacun des domaines suivants : sciences de la santé, sciences pures et sciences appliquées, pour favoriser le transfert de connaissance, montrer aux étudiants que ce que l’on fait sert à quelque chose et aussi pour motiver les étudiants. Nous croyons que la présentation devrait se faire avec un support visuel de type PowerPoint. De plus, dans notre domaine la ressource du milieu devrait être jumelée à la démonstration.
 * __Les ressources du milieu__**

L’utilisation de cette méthode d’enseignement en mathématiques représente un défi que nous considérons réalisable. Traditionnellement, le tournoi vise des connaissances déclaratives et non procédurales. Nos objectifs faisant principalement appel à des connaissances procédurales, il faudra adapter le tournoi. Ainsi, nous pourrions appliquer le tournoi en version écrite et non orale. Ce serait une compétition en classe de résolution de problèmes dont les critères d’attribution des points seraient la vitesse et la qualité de la résolution. Ici on ne ferait pas seulement appel à l’apprentissage par coeur de la théorie, mais aussi à la maîtrise de la technique de résolution de problèmes. Le tournoi ne devrait pas se tenir au début du cours. Notre séquence se situe à la fin de la première partie du cours ce qui laisse le temps à l’enseignant de bien connaître ses étudiants afin de former des équipes équilibrées. L’enseignant devrait former de nombreuses petites équipes dès le début de la séquence pour s’assurer de la participation active de tous ses étudiants. L’enseignant doit d’abord présenter la théorie. Nous suggérons le recours à l’exposé, la démonstration, les ressources du milieu et le groupe de discussion à titre de méthodes d’enseignement à cet effet. À la fin de chaque cours, l’enseignant doit laisser suffisamment de temps à ses étudiants pour que les équipes pratiquent la résolution de problèmes, pour qu’ils entraînent. Il s’agit d’apprentissage coopératif, d’enseignement par les pairs, de travail d’équipe, de laboratoire et aussi d’exercices répétitifs. De plus, l’enseignant doit suggérer aux étudiants d’effectuer quelques rencontres de préparation hors de la classe et d’étudier individuellement. Traditionnellement, l’enseignant laissait de toute façon du temps en classe aux étudiants pour qu’ils puissent faire des exercices. Le tournoi serait une bonne préparation au premier examen sommatif du cours choisi. Nous considérons qu’il s’agit d’une bonne activité de révision. Le tournoi en tant que tel serait une activité formative dont certaines activités de préparation pourraient être évaluées (devoirs). Cette méthode permettrait à l’enseignant d’évaluer l’avancement du groupe et de donner de la rétroaction, des conseils sur leur travail. Cette méthode est motivante pour les étudiants. Par ailleurs, elle risque de susciter l’intérêt des garçons quoique habituellement ce n’est pas en mathématiques que les garçons ont plus de difficulté que les filles, probablement en raison de l’approche classique. Telle que nous l’avons décrite, cette méthode permettrais de travailler à développer l’intuition des étudiants, de favoriser l’intégration et le transfert des connaissances en plus de sortir de l’abstrait. Les TIC peuvent avoir une place de choix dans cette l’élaboration d’un scénario pédagogique intégrant cette méthode. Notons l’utilisation d’une présentation de style « PowerPoint » pour l’exposé, les conférences d’expert et la présentation des questions du tournoi. Lors des laboratoires et des démonstrations en classe, l’enseignant peut avoir recours à des logiciels de résolution de problèmes tels que Matlab et Maple. Un site Internet peut également fournir d’autres formulations de la théorie et des exercices en ligne pour permettre aux étudiants de se pratiquer à résoudre des problèmes. Il pourrait y avoir une autoévaluation en ligne du type NetQuiz avec rétroaction pour encore une fois entraîner les étudiants. Finalement, la messagerie électronique supervisée (DECclic, webCT), simultanée (chat) ou différée (courriel, blogue, wiki) peut être utilisée comme support au travail d’équipe, à la coopération et à l’enseignement par les pairs.
 * __Le tournoi__**

La recherche guidée favorise l’analyse et la synthèse. Nous restons sur l’impression que cette méthode s’applique surtout à de petits groupes d’étudiants. En mathématiques, il y a habituellement une trentaine d’étudiants par cours. À moins de les faire travailler en équipes de 2 ou 3, ce n’est pas possible dans notre discipline au niveau collégial. Ce serait un bon projet de session pour assurer le transfert et l’intégration des connaissances. À l’échelle d’une séquence de cours ce serait trop de travail étant donné que l’enseignant peut difficilement avoir une relation étroite avec chacun de ses élèves, spécialement pour la partie du cours que nous avons choisie. Par contre, cette méthode s’applique très bien en mathématiques surtout à partir du 2e cycle universitaire.
 * __La recherche guidée__**

Elle est très utilisée en mathématiques. Cette méthode s’intègre bien à l’exposé pour concrétiser la théorie, pour sortir de l’abstrait. On peut donner des exemples concrets et prouver les notions théoriques. Cette méthode permet aussi le transfert et l’intégration des connaissances. Dans le cadre du cours choisi, le professeur peut montrer aux étudiants étape par étape comment résoudre un système d’équations linéaires. Ceci peut être fait au tableau ou à l’aide d’un support visuel. De plus, plusieurs logiciels peuvent appuyer les démonstrations en mathématiques afin de familiariser les étudiants à ces outils. Parmi ceux-ci, notons Matlab, Maple, Mathematica, S-Plus, etc.
 * __La démonstration__**

Ce peut être très intéressant en mathématiques pour sortir de l’abstraction. Grâce aux équations mathématiques, les phénomènes physiques peuvent être modélisés. On peut aussi utiliser la simulation par ordinateur, notamment en géométrie pour visualiser certains corps plus complexes ou les opérations sur les figures géométriques (rotation, réflexion, translation...). De plus, la simulation numérique est très utile pour résoudre de façon approximative ou efficacement des systèmes complexes. Même si nous visons le transfert des connaissances et le concret, le niveau des étudiants de ce cours ne permet pas d’utiliser cette formule.
 * __La simulation__**

=Bibliographie=


 * 1) Bloom, B.S. (1969). //Taxonomie des objectifs pédagogiques//. Montréal : Éducation nouvelle.
 * 2) Aylwin, U. (1992). Les principes d'une bonne stratégie pédagogique. //Pédagogie collégiale//, 5 :4, 11-15.
 * 3) Aylwin, U. (1992). Les principes d'une bonne stratégie pédagogique (suite). //Pédagogie collégiale//, 6 :1, 23-29.
 * 4) Barbeau, D., Montini, A. & Roy, C. (1997). //Tracer les chemins de la connaissance : la motivation scolaire.// Montréal : Association québécoise de pédagogie collégiale.
 * 5) Tardif, J. (1997). //Pour un enseignement stratégique : l’apport de la psychologie cognitive.// Montréal : Logiques.
 * 6) Ministère de l’éducation, des loisirs et des sports. (2003). « 200-B0, Sciences de la nature ». In Ministère de l’éducation, des loisirs et des sports, //Répertoire des programmes et des cours de l’enseignement collégial//, [en ligne]. http://www.mels.gouv.qc.ca/ens-sup/ens-coll/Cahiers/program/200B0.pdf (Page consultée le 26 mai 2007).
 * 7) Chamberland, G., Lavoie, L., Marquis, D. (2006). //20 formules pédagogiques//. Québec : Presse de l’université du Québec.